La [Semaine de mathématiques 2016->http://eduscol.education.fr/cid59178/semaine-des-mathematiques.html] s’est déroulée au collège du 14 au 18 mars et avait pour thème “maths et sport”. Dans ce cadre, une activité de recherche a germé à partir d’articles lus dans Le Monde et dans “[Le petit vert->http://apmeplorraine.fr/pv/PV125.pdf]”, bulletin de la régionale Lorraine de l’Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP). Un article du Monde du 29/09/15 relatait la découverte, tout à fait récente, d’un quinzième pentagone permettant de paver le plan (comme un puzzle où toutes les pièces auraient la même forme, dans ce cas, pentagonale).
![](IMG/png/pavages_par_pentagones_le_monde.png)
Ce problème du pavage du plan par des pentagones identiques avait agité la communauté mathématique tout au long du XXème. Celle-ci en avait laborieusement dénombré quatorze entre 1918 et 1985. Depuis plus rien ! Et en août 2015, une équipe de trois mathématiciens états-unienne venait d’en découvrir un quinzième. Voici ses caractéristiques géométriques :
![](IMG/png/quinzie_me_tuile_pentagonale.png)
La distance AD étant pris comme unité de longueur, les segments [AB], [BC] et [DE] ont donc pour longueur la moitié de celle de [AD]. Puis, sachant manier un rapporteur, il devient aisé de dessiner, dès la 6ème, ce pentagone. La première idée consistait donc à présenter cette toute récente découverte aux élèves d’une classe et de demander, à chacun d’entre eux, de dessiner un tel pentagone sur une feuille colorée de format A5 pour réaliser un tel pavage (en prenant AD = 10 cm).
![](IMG/png/pavage_du_plan_avec_le_quinzie_me_pentagone.png)
Dans la revue “Le petit vert”, on découvrait qu’il existait une deuxième méthode de construction de ce quinzième pentagone. Voir ci-dessous :
![](IMG/png/quinzie_me_pentagone_deuxie_me_construction.png)
Encore faut-il prouver qu’on obtient bien ainsi le même pentagone. Ce qui nécessite une petite démonstration géométrique accessible dès la 5ème. Dans cette deuxième méthode de construction du pentagone, il faut : -* tracer un segment [AD] dont la longueur sert d’unité de mesure -* construire un triangle équilatéral ADG -* placer les milieux E et F des côtés [DG] et [AG] -* tracer le carré ABCF -* joindre E et C On obtient ainsi le pentagone ABCED recherché. Remarque : ces deux constructions peuvent aisément être réalisées avec le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra (téléchargeable gratuitement [ici->https://www.geogebra.org/download]).
![](IMG/png/pavage_du_plan_avec_le_quinzie_me_pentagone_2.png)
Dernier défi à proposer aux élèves de 4ème et de 3ème : Calculer la longueur exacte du côté [CE], sachant que AD = 1.
Avis aux amateurs de sport cérébral :
le premier élève de 4ème ou 3ème du collège Réeberg Néron qui relèvera ce défi et communiquera sa solution justifiée par courrier électronique à l’auteur de cet article se verra offrir un goûter (1 pain au chocolat + 1 Caresse guyanaise).